方べきの定理まとめ（証明・逆の証明） | 理系ラボ

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方べきの定理まとめ（証明・逆の証明）

数学A2019.04.13

東大塾長の山田です。
このページでは、「方べきの定理」について解説します。

方べきの定理とその証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます。
ぜひ参考にしてください！

1. 方べきの定理とは？

まずは方べきの定理とは何か説明します。

これら3つすべてまとめて「方べきの定理」といいます。

2. 方べきの定理の証明

それでは、なぜ方べきの定理が成り立つのか？証明をしていきます。

パターンⅠ・Ⅱ・Ⅲそれぞれの場合の証明をしていきます。

2.1 方べきの定理Ⅰの証明

パターンⅠは、点Pが弦AB,CDの交点の場合です。

△PACと△PDBにおいて

対頂角だから　∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐵 ⋯①

円周角の定理より　∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐵𝐷𝑃 ⋯②

①，②より2組の角がそれぞれ等しいから
　△PAC ∽ △PDB

よって　𝑃𝐴:𝑃𝐷=𝑃𝐶:𝑃𝐵

∴ 𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝐶⋅𝑃𝐷

となり、方べきの定理パターンⅠが成り立つことが証明できました。

2.2 方べきの定理Ⅱの証明

パターンⅡは、点Pが弦AB,CDの延長の交点の場合です。

△PACと△PDBにおいて

共通な角だから　∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐵 ⋯①

円に内接する四角形の内角は，その対角の外角に等しいから
　∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐷𝐵 ⋯②

①，②より2組の角がそれぞれ等しいから
　△PAC ∽ △PDB

よって　𝑃𝐴:𝑃𝐷=𝑃𝐶:𝑃𝐵

∴ 𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝐶⋅𝑃𝐷

となり、方べきの定理パターンⅡが成り立つことが証明できました。

2.3 方べきの定理Ⅲの証明

パターンⅢは、パターンⅡのC,Dが一致しているパターンです。

△PTAと△PBTにおいて

共通な角だから　∠𝑇𝑃𝐴=∠𝐵𝑃𝑇 ⋯①

接弦定理より　∠𝑃𝑇𝐴=∠𝑃𝐵𝑇 ⋯②

①，②より2組の角がそれぞれ等しいから
　△PTA ∽ △PBT

よって　𝑃𝑇:𝑃𝐵=𝑃𝐴:𝑃𝑇

∴ 𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝑇2

となり、方べきの定理パターンⅢが成り立つことが証明できました。

3. 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆とその証明

方べきの定理Ⅰ・Ⅱは、その逆も成り立ちます。

3.1 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆

3.2 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆の証明

下図の，「【Ⅰ】点𝑃が線分ABとCDの交点の場合」，「【Ⅱ】点𝑃が線分AB,CDの延長の交点の場合」，いずれの場合も証明は同様です。

△PACと△PDBにおいて

仮定　𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝐶⋅𝑃𝐷より
　𝑃𝐴:𝑃𝐷=𝑃𝐶:𝑃𝐵 ⋯①

［【Ⅰ】対頂角］，［【Ⅱ】共通な角］だから
　∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐵 ⋯②

①，②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
　△PAC ∽ △PDB

∴ ∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐷𝐵

よって，［【Ⅰ】円周角の定理の逆］，［【Ⅱ】円に内接する四角形の性質］より，4点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷は1つの円周上にあるといえます。

したがって，𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝐶⋅𝑃𝐷が成り立つならば，4点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷は1つの円周上にあることが証明できました。

4. 方べきの定理Ⅲの逆とその証明

方べきの定理Ⅲについても、その逆が成り立ちます。

4.1 方べきの定理Ⅲの逆

4.2 方べきの定理Ⅲの逆の証明

△PTAと△PBTにおいて

仮定　𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝑇2より
　𝑃𝐴:𝑃𝑇=𝑃𝑇:𝑃𝐵 ⋯①

共通な角だから　∠𝑇𝑃𝐴=∠𝐵𝑃𝑇 ⋯②

①，②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
　△PTA ∽ △PBT

∴ ∠𝑃𝑇𝐴=∠𝑃𝐵𝑇

よって，接弦定理の逆より， 𝑃𝑇は△𝑇𝐴𝐵の外接円に点𝑇で接するといえます。

したがって，𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝑇2が成り立つならば，𝑃𝑇は△𝑇𝐴𝐵の外接円に接することが証明できました。

5. 方べきの定理のまとめ

以上が方べきの定理の解説です。しっかり理解できましたか？

方べきの定理はとても便利であり、超重要公式の1つです。

必ず覚えておきましょうね！

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