デカルトの数学的功績の一つは…の統一である。
アルノー、ラミー、ラクロワの『原論』におけるデカルト幾何学のフランス的遺産について エヴリーヌ・バルバン LMJL UMR 6629 & IREM、ナント大学、フランス 要約 デカルトが1637年に『幾何学原論』を著した際、彼の目的は定理と証明を記した「原論」を著すことではなく、「幾何学のすべての問題」を解決する方法を提示することでした。しかし、アントワーヌ・アルノーは1667年に『新幾何学原論』において、2つの重要なデカルト的概念を盛り込んでいます。1つ目は幾何学的大きさに対する算術的演算の体系的な導入であり、2つ目は彼が「自然順序」と呼んだものです。これは、最も単純な幾何学的対象（直線）から他の対象へと進むデカルト的順序を意味します。この最後の概念は、アルノーに数々の斬新な成果をもたらしました。主に「垂直線と斜線」に関する章や、タレスとピタゴラスの定理の新たな証明などです。1685年、ベルナール・ラミーはアルノーの教科書を踏襲した著書『幾何学要論』を著し、その中でデカルト的手法による問題解決法も導入しました。本研究の第一の目的は、アルノーとラミーの『幾何学要論』におけるデカルト的概念とデカルト的手法の取り込みを分析することです。第二の目的は、デカルト幾何学の数学教育への遺産、特にアルノーに由来する「自然秩序」とラミーに由来する「代数の幾何学への応用」に及ぼした影響を分析することです。この枠組みにおいて、シルヴェストル＝フランソワ・ラクロワの幾何学教育が19世紀以降に重要な役割を果たしたことを示すことを目指します。キーワード：ルネ・デカルト、アントワーヌ・アルノー、シルヴェストル＝フランソワ・ラクロワ、デカルト的秩序、幾何学の算術化 序論：デカルト的秩序と幾何学の算術化 1620年代末、ルネ・デカルトは『精神の方向づけの規則』を著した。この著作は彼の生前には完成・出版されることはなかったが、アントワーヌ・アルノーが読んだことは興味深い。この『規則』の中で、デカルトは三段論法に基づくアリストテレスの科学を批判した。三段論法は確実な結論を導き出すことはできるが、自明性を失わせるからである（第10規則）。そして、彼は独自の科学観を提示した。実際、彼は『規則』第12規則で次のように述べている。「我々は、これらの単純な性質と、それらの相互の特定の混合もしくは合成を超えて、何も理解することはできない」（デカルト、1998年、155頁）。したがって、人間のあらゆる認識は、これらの単純な性質が互いにどのように他の事物の構成に寄与しているかを明瞭に理解するという、この一点に尽きる（デカルト、1998、161頁）。このように、デカルトは命題の論理的秩序の代わりに、事物の単純性の秩序を代用することを提案した。デカルトは、単純なものから複合的な性質を得る方法を演繹と呼び続けた。このように、アリストテレス的演繹とデカルト的演繹は、前者では命題が論理的規則によって他の命題から演繹されるのに対し、後者では、単純なものから単純な演算によって構成されたものが演繹される。幾何学における単純なものや単純な演算は、『幾何学論』（1637年）の冒頭で既に導入されている。デカルトは次のように記している。「幾何学におけるいかなる問題も、特定の直線の長さに関する知識があれば構成できるような用語に容易に還元できる。算術が、加法、減法、乗法、そして根号の導出という、たった4つか5つの演算から成るのと同じように[…]」（デカルト、1954年、2ページ）。したがって、単純なものは直線であり、単純な演算は算術演算である。この幾何学の「算術化」は、算術との類推からデカルトが「単位」と呼ぶ1本の直線を導入したことに依拠している。実際、この単位によって、2本の直線BDとBCの積を、ギリシャ幾何学における長方形ではなく、単純な直線として得ることができる。 AB を単位とすると、BE は BD と BC の積です (図 1 左)。これにより、2 つの線分を分割して線分を取得することもできます。直線の平方根を考えることは、ギリシャ幾何学では意味がありませんが、デカルト幾何学では、FG を単位とすると GI は GH の平方根です (図 1 右)。 図 1. 2 つの線分の積と線分の平方根 (デカルト、1954、p.4) デカルトは、多くの場合、線分を描く必要はなく、算術記号を適用する単一の文字で線分を指定すれば十分であると指摘しました。さらに、単位のおかげで、たとえば a3 や b2 を単純な線分と見なしたり、たとえば a2b2 – b の 3 乗根をこの式の幾何学的な意味を考慮せずに考えたりすることができます。デカルトの目的は、既知の線分から未知の線分を演繹することによって、幾何学の問題を解く体系的な方法を提供することでした。この方法は、問題を直線上の方程式に置き換え、それらを解くというものです。『幾何学』第一巻において、デカルトはこの方法を用いて、初等的な問題ではなく、パップスが残した難問を解きました。第二巻では、彼の一般的な概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考えました。この場合、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在するとします。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「力学的」直線と呼ばれます。したがって、彼は「直交座標系」を導入しませんでした。彼はこの方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めました（図2）。図2. 『幾何学』における「幾何学的曲線」の法線（デカルト、1954年、97ページ）幾何学におけるあらゆる問題は、特定の直線の長ささえ知っていれば、その構成に十分なほど簡単に還元できます。算術が、加算、減算、乗算、そして根号の導出というわずか4つか5つの演算から成るのと同様です[...] (Descartes, 1954, p. 2)。したがって、単純なものは直線であり、単純な演算は算術演算です。幾何学のこの「算術化」は、算術との類推からデカルトが「単位」と呼ぶ直線を導入したことに基づいています。実際、この単位によって、2つの直線BDとBCの積を、ギリシャ幾何学のように長方形ではなく、単純な直線として得ることができます。ABを単位とすれば、BEはBDとBCの積です（図1左）。また、この単位によって、2つの線分を分割して線分を得ることも可能になります。直線の平方根を考えることは、ギリシャ幾何学では意味がありませんが、デカルト幾何学では、FG を単位とすると、GI は GH の平方根です (図 1 右)。 図 1. 2 つの線分の積と線分の平方根 (デカルト、1954、p.4) デカルトは、多くの場合、線分を描く必要はなく、算術記号が適用される単一の文字で線分を指定するだけで十分であると指摘しました。さらに、単位のおかげで、たとえば a3 または b2 を単純な線分と見なすことができ、たとえば、この式の幾何学的な意味を考慮せずに a2b2 – b の 3 乗根を考えることができます。 デカルトの目的は、既知の線分から未知の線分を演繹することによって幾何学の問題を解く体系的な方法を提供することでした。 『幾何学』第一巻において、デカルトは自身の方法を用いて、初等的な問題ではなく、パップスが残した難問を解きました。第二巻では、彼の一般的な概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考えました。この場合、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在するとします。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「力学的」直線と呼ばれます。したがって、彼は「直交座標系」を導入しませんでした。彼は自身の方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めました（図2）。図2. 『幾何学』における「幾何学的曲線」の法線（デカルト、1954年、97ページ）幾何学におけるあらゆる問題は、特定の直線の長ささえ知っていれば、その構成に十分なほど簡単に還元できます。算術が、加算、減算、乗算、そして根号の導出というわずか4つか5つの演算から成るのと同様です[...] (Descartes, 1954, p. 2)。したがって、単純なものは直線であり、単純な演算は算術演算です。幾何学のこの「算術化」は、算術との類推からデカルトが「単位」と呼ぶ直線を導入したことに基づいています。実際、この単位によって、2つの直線BDとBCの積を、ギリシャ幾何学のように長方形ではなく、単純な直線として得ることができます。ABを単位とすれば、BEはBDとBCの積です（図1左）。また、この単位によって、2つの線分を分割して線分を得ることも可能になります。直線の平方根を考えることは、ギリシャ幾何学では意味がありませんが、デカルト幾何学では、FG を単位とすると、GI は GH の平方根です (図 1 右)。 図 1. 2 つの線分の積と線分の平方根 (デカルト、1954、p.4) デカルトは、多くの場合、線分を描く必要はなく、算術記号が適用される単一の文字で線分を指定するだけで十分であると指摘しました。さらに、単位のおかげで、たとえば a3 または b2 を単純な線分と見なすことができ、たとえば、この式の幾何学的な意味を考慮せずに a2b2 – b の 3 乗根を考えることができます。 デカルトの目的は、既知の線分から未知の線分を演繹することによって幾何学の問題を解く体系的な方法を提供することでした。 『幾何学』第一巻において、デカルトは自身の方法を用いて、初等的な問題ではなく、パップスが残した難問を解きました。第二巻では、彼の一般的な概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考えました。この場合、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在するとします。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「力学的」直線と呼ばれます。したがって、彼は「直交座標系」を導入しませんでした。彼は自身の方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めました（図2）。図2. 『幾何学』における「幾何学的曲線」の法線（デカルト、1954年、97ページ）ギリシャ幾何学のように、ただし単純な直線として。 AB を単位とすると、BE は BD と BC の積です (図 1 左)。 また、2 つの線分を分割して線分を取得することもできます。 直線の平方根を考えることはギリシャ幾何学では意味がありませんが、デカルト幾何学では、 FG を単位とすると GI は GH の平方根です (図 1 右)。 図 1. 2 つの線分の積と線分の平方根 (デカルト、1954、p.4) デカルトは、多くの場合、線分を描く必要はなく、算術記号を適用する単一の文字で線分を指定するだけで十分であると指摘しました。 さらに、単位のおかげで、たとえば a3 または b2 を単純な線分として考えることができ、たとえば、この式の幾何学的な意味を考慮せずに a2b2 – b の 3 乗根を考えることができます。デカルトの目的は、既知の直線から未知の直線を演繹することにより、幾何学の問題を体系的に解く方法を提供することでした。この方法は、問題を直線上の方程式に置き換え、それらを解くというものです。『幾何学論』第一巻において、デカルトはこの方法を用いて、初等的な問題ではなく、パップスが残した難問を解きました。第二巻では、彼の一般的な概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考察しました。つまり、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在するということです。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「力学的」直線と呼ばれます。したがって、彼は「直交座標系」を導入しませんでした。彼はこの方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めました（図2）。図2. La géométrie（デカルト、1954年、p.97）における「幾何学曲線」の法線ギリシャ幾何学のように、ただし単純な直線として。 AB を単位とすると、BE は BD と BC の積です (図 1 左)。 また、2 つの線分を分割して線分を取得することもできます。 直線の平方根を考えることはギリシャ幾何学では意味がありませんが、デカルト幾何学では、 FG を単位とすると GI は GH の平方根です (図 1 右)。 図 1. 2 つの線分の積と線分の平方根 (デカルト、1954、p.4) デカルトは、多くの場合、線分を描く必要はなく、算術記号を適用する単一の文字で線分を指定するだけで十分であると指摘しました。 さらに、単位のおかげで、たとえば a3 または b2 を単純な線分として考えることができ、たとえば、この式の幾何学的な意味を考慮せずに a2b2 – b の 3 乗根を考えることができます。デカルトの目的は、既知の直線から未知の直線を演繹することにより、幾何学の問題を体系的に解く方法を提供することでした。この方法は、問題を直線上の方程式に置き換え、それらを解くというものです。『幾何学論』第一巻において、デカルトはこの方法を用いて、初等的な問題ではなく、パップスが残した難問を解きました。第二巻では、彼の一般的な概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考察しました。つまり、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在するということです。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「力学的」直線と呼ばれます。したがって、彼は「直交座標系」を導入しませんでした。彼はこの方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めました（図2）。図2. La géométrie（デカルト、1954年、p.97）における「幾何学曲線」の法線第二巻では、彼は自身の一般的概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考えた。この場合、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在する。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「機械的」直線と呼ばれる。したがって、彼は「直交座標系」を導入しなかった。彼は自身の方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めた（図2）。図2. 『幾何学』における「幾何学的曲線」の法線（デカルト、1954年、97ページ）第二巻では、彼は自身の一般的概念に基づき、単位直線を用いて、曲線は算術演算によって単純な直線で構成されていると考えた。この場合、与えられた直線AGと曲線の各点Cに対して、CMとMAを結ぶ単一の方程式が存在する。これらの直線は「幾何学的」直線と呼ばれ、他の直線は「機械的」直線と呼ばれる。したがって、彼は「直交座標系」を導入しなかった。彼は自身の方法を用いて、「幾何学的曲線」の法線CPを求めた（図2）。図2. 『幾何学』における「幾何学的曲線」の法線（デカルト、1954年、97ページ） 
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