きっかけは３歳女児「これ何？」　八重山で初確認された寄生バチ　研究者の父「くやしいけど嬉しい」（沖縄タイムス） - Yahoo!ニュース

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きっかけは３歳女児「これ何？」　八重山で初確認された寄生バチ　研究者の父「くやしいけど嬉しい」

　【西表島=竹富】琉球大学は9日、同大熱帯生物圏研究センター西表研究施設の和智（わち）仲是（なかただ）助教らが、寄生バチの一種ホウネンタワラチビアメバチを竹富町西表島の公園で発見したと発表した。八重山諸島では初めての発見で、和智助教の娘（4）=当時3歳=が「これ何？」と首をかしげたのがきっかけ。子どもの好奇心が地域の生物多様性を明らかにする出発点となった。（八重山支局・矢野悠希）【写真】西表島産のホウネンタワラチビアメバチ　発表によると昨年9月、西表島西部のうなり崎公園で和智さんが娘のかの子ちゃんと虫取りをしていた際、かの子ちゃんが不思議な模様のある二つの繭が植物の葉にぶら下がっているのを見つけた。　和智さんが研究室に持ち帰って、後日羽化した生物の同定をヒメバチに詳しい北海道大学総合博物館の小西和彦資料部研究員に依頼したところ、ホウネンタワラチビアメバチであることが判明した。　この寄生バチはオーストラリアやインド、東南アジア、中国といった海外や国内に広く分布しているが、県内では多良間島のみで確認されていた。主に稲の害虫であるフタオビコヤガの幼虫に寄生するが、これまでフタオビコヤガは西表島に確認されていない。何のガに寄生して生息していたかなど、さらに解明の必要があるという。　和智さんは「研究者としては娘に見つけられてしまったのは悔しいが、親子の遊びが記録に残ったのはうれしい」と笑顔。「日本全国どこでも身近な環境に未発見の昆虫が数多く存在している。身近な動植物に対する関心が高まってくれれば」と話した。　この研究結果は昨年12月30日付で日本昆虫分類学会が発行する学術誌「Japanese Journal of Systematic Entomology」に掲載された。

留数 - Wikipedia

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

留数

詳細

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2024年1月)

複素解析学における留数（りゅうすう、英: residue）は、孤立特異点を囲む経路に沿う有理型関数の複素線積分により得られる複素数である。

定義

解析函数 f(z) に対し z = a が孤立特異点であるとき、 z = a における留数 $\operatorname {Res} (f,a)$ $\operatorname {Res} (f,a)$ または $\operatorname {Res} _{a}(f)$ $\operatorname {Res} _{a}(f)$ が定義でき、

留数定理により次のように定められる。

\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z):={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}

$\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z):={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}$

（z = a が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える）。ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする（実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。

無限遠点 ∞ を含めて P¹ ≔ C ∪ {∞} 上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点 z = ∞ に孤立特異点を持つ解析函数 f(z) に対し、z = 1/ζ なる変数変換を行えば、g(ζ) := f(1/ζ) は ζ = 0 に孤立特異点を持つ（あるいは正則な）解析函数だが、留数 Res_z=∞f(z)dz は

\operatorname {Res} \limits _{z=\infty }\,f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(1/\zeta )d(1/\zeta )=-\operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,{\frac {g(\zeta )}{\zeta ^{2}}}\;(\neq \operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,g(\zeta ))

$\operatorname {Res} \limits _{z=\infty }\,f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(1/\zeta )d(1/\zeta )=-\operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,{\frac {g(\zeta )}{\zeta ^{2}}}\;(\neq \operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,g(\zeta ))$

であることに留意すべきである。

解析函数 f(z) はその孤立特異点 z = a の周りでローラン展開

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$

を持つ。これは、γ を含み z = a を中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、γ 上項別積分可能で

\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\oint _{\gamma }(z-a)^{n}{\mathit {dz}}

$\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\oint _{\gamma }(z-a)^{n}{\mathit {dz}}$

となるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えて

a_{-1}=\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z)

$a_{-1}=\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z)$

となることがわかる。同様に、無限遠点 z = ∞ における留数は、g(ζ) := f(1/ζ) の ζ に関するローラン展開が

g(\zeta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\zeta ^{n}

$g(\zeta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}\zeta ^{n}$

で与えられるならば、Res_z=∞−b₋₁ を得る。ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。また、孤立特異点 z = a が f(z) の n-位の極であるなら、(z − a)ⁿf(z) は正則で、とくに

(z-a)^{n}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k-n}(z-a)^{k}

とテイラー展開されるので、

a_{-1}={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{{\mathit {dz}}^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]

と計算することができる。

→詳細は「留数定理（英語版）」を参照

単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a₁, a₂, …, a_n をもち、それ以外で正則であるなら

\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} \limits _{z=a_{i}}\,f(z)

$\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} \limits _{z=a_{i}}\,f(z)$

が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理 (residue theorem) と呼ぶ。

例1：実軸上の積分

留数定理を用いると、例えば

\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}

$\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}$

のような積分が計算できる。まず、f(x) = 1 /(1 + x²)^{n + 1} を複素領域へ拡張した f(z) を考えると、これは z = ±i に極を持つ。十分大きな R > 0 を取り、区間 [−R, R] を直径とする原点中心の半円板で z = i を含むほうの周を C₀、C₀ から直径 [−R, R] を除いた部分を C とする。実軸上を正の向きに進むものとして C₀ 上で f(z) を積分すれば

\int _{C_{0}}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}=\int _{-R}^{R}{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}+\int _{C}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}

である。このとき C が十分大きければ R に依らず、C₀ の囲む領域内で f(z) は (n + 1)-位の極 z = i をもち、かつそれ以外には特異点を持たないから、留数定理により左辺は

{\begin{aligned}2\pi i\,\operatorname {Res} \limits _{z=i}\,f(z)&={2\pi i \over n!}\lim _{z\to i}{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}\!\left({\frac {(z-i)^{n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}\right)\\&={2\pi i \over n!}\left.{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}{1 \over (z+i)^{n+1}}\right|_{z=i}={\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}\end{aligned}}

となる。一方、右辺第二項は R → ∞ のとき 0 に収束するので、結局

{\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}

を得る。

例2：偏角の原理

留数定理の系として、偏角の定理あるいは偏角の原理などと呼ばれる次のような定理を得ることができる。

定理: 単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f(z) は γ 上に極も零点も持たないとする。このとき、f(z) の D 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を n、極の個数を m とすると ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }d\!\log f(z)=n-m$ が成り立つ。さらに一般に、重複度込みで零点が a₁, a₂, …, a_n、極が b₁, b₂, …, b_m であるとすると、E 上の任意の正則関数 g(z) に対して ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }g(z)\,d\!\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_{j})-\sum _{k=1}^{m}g(b_{k})$ が成立する。